Soient \((G,*)\) et \((G',\diamond)\) deux groupes
Une application \(f:G\to G'\) est un morphisme de groupes si et seulement si : $$\forall x,x'\in G,\quad f(xx')=f(x)f(x')$$
(Groupe, Fonction - Application) Isomorphisme, Ensembles isomorphes
Propriétés
Si \(f:G\to G'\) est un morphisme de groupes, alors : $$f({{e_G}})={{e_{G'} }}$$
Si \(f:G\to G'\) est un morphisme de groupes, alors : $$\forall x\in G,{{f(x^{-1})}}={{\left( f(x)\right)^{-1} }}$$
Images et images réciproques
Proposition :
Si \(\phi\) est un morphisme de groupes, alors les images et les images réciproques de sous-groupes sont des sous-groupes
C'est en particulier le cas de $${{\operatorname{Im}\phi=\phi(G)}}\quad\text{ et }\quad{{\ker\phi=\phi^{-1}(e_{G^\prime})=\{x\in G\mid\phi(x)=e_{G^\prime}\} }}$$
Opérations
La composée de morphismes de groupes est un morphisme de groupes
(Composition)
La fonction réciproque d'un morphisme de groupes est un morphisme de groupes
(Fonction réciproque)
